【多选题】

某市政府公务员王某，长期为外国收集中国的情报，被有关部门立案侦查，后来被采取了监视居住措施。下列说法不正确的是( )。

A、本案应该由检察院立案侦查
B．本案应该由公安机关立案侦查
C．对王某的监视居住措施应该由国家安全机关执行
D．对王某的监视居住措施应该由公安机关执行